Giải Pt nghiệm nguyên x^4+2x^2=y^3

Đáp án:  `(x;y)=(0;0)`

 

Giải thích các bước giải:

`x^4+2x^2=y^3`

Ta có:  `x^4+2x^2≥0`

`⇒y ≥ 0 `

Đặt `t = x^2; t≥0 `

`Pt⇒t^2+2t^2-y^3=0`

 `Δ = 4+4y^3 ⇒ √Δ = 2 √y^3 + 1`

Để Pt nhận nghiệm nguyên thì `( y + 1 ) ( y^2 − y + 1 )` là số chính phương

TH1. `y + 1 = y^2 − y + 1 ⇒ x=y=0 `

TH2. `y + 1 ≠ y^2 − y + 1` ⇒ `y^2 − y + 1 > y + 1`

Mà `( y + 1 ) ( y^2 − y + 1 )` là số chính phương 

`⇒y^2 − y + 1` chia hết cho `y+1 `

`⇒(y^2 − y + 1)/(y + 1) = y − 2 + 3/(y + 1)`

`⇒ y+1 là Ư(3) `

`⇒y=2 `(loại)  hoặc` y=0 => x=0 `

Vậy pt có nghiệm duy nhất `(x;y)=(0;0)`