Tìm đa thức P(x) có tất cả các hệ số nguyên dương nhỏ hơn 6 thỏa mãn P(6) bé hơn hoặc bằng 1994.

Ta có

$6^4 < 1994 < 6^5$

Do đó, đa thức của ta phải có bậc bé hơn hoặc bằng 4.

Đặt

$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$ với $a, b, c, d, e \in \mathbb{N}$ và $a, b, c, d, e <6$

Theo đề bài ta có

$a.6^4 + b.6^3 + c.6^2 + d.6 + e \leq 1994$

Do đó

$a.6^4 <1994$ hay $a < 1,5$

Vậy $a = 1$. Suy ra

$b.6^3 + c.36 + 6d + e \leq 698$

Ta lại có

$b.6^3 < 698$ hay $b < 3,23$

Vậy $b = 3, 2, 1$.

TH1: $b = 3$

Khi đó, ta có

$36c + 6d + e \leq 50$

Do $36c < 50$, vậy $c = 1$

Suy ra $6d + e = 14$

Vậy $d = 2$ và $e = 2$.

Đa thức 

$P(x) = x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x + 2$

TH2: $b = 2$

Khi đó ta có

$36c + 6d + e \leq 266$

Do đó

$36c < 266$ hay $c \leq 7$. (loại)

Vậy đa thức cần tìm là

$P(x) = x^4 + 3x^3 + x^2 + 2x + 2$