1. Cho hình chóp S.ABC có V S. ABC=a^3√2 /36 và mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng? 2. Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD, BCD. Tính thể tích khối tứ diện MNPQ. 3. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C') trùng với trọng tâm của tam giác A'B'C', mặt phẳng (ABB'A') tạo với đáy một góc 60 độ. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. Mọi người ráng giải giùm e với ạ. Tại chiều nay e phải đi học rồi!!!!! E cảm ơn ạ.

Đáp án:

1) $d(A;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{9}$

2) $V_{M.NPQ} = \dfrac{1}{27}V$

3) $V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, (đvtt)$

Giải thích các bước giải:

1) Ta có:

$V_{S.ABC} = V_{A.SBC} = \dfrac{1}{3}S_{SBC}.d(A;(SBC))$

$\Rightarrow d(A;(SBC)) = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SBC}} = \dfrac{3.\dfrac{a^3\sqrt2}{36}}{\dfrac{a^2\sqrt3}{4}} = \dfrac{a\sqrt6}{9}$

2) Gọi $E, F, K$ lần lượt là trung điểm của $AB, AC, BC$

Ta được: $\dfrac{DN}{DF} = \dfrac{DP}{DE} = \dfrac{DQ}{DK} = \dfrac{2}{3}$ (tính chất của trọng tâm)

$\Rightarrow \dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{D.EFK}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$

Ta lại có:

$\dfrac{V_{D.PNQ}}{V_{M.NPQ}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d(D;(PNQ))}{\dfrac{1}{3}S_{PNQ}.d(M;(PNQ))} = \dfrac{d(D;(PNQ))}{d(M;(PNQ))} = 2$

$\Rightarrow V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}V_{D.EFK}$

Mặt khác:

$S_{EFK} = S_{ABC} - S_{AEF} - S_{BEK} - S_{CFK} = \dfrac{1}{4}S_{ABC}$

$\Rightarrow \dfrac{V_{D.EFK}}{V_{D.ABC}} = \dfrac{1}{4}$

hay $V_{D.EFK} = \dfrac{1}{4}V$

Do đó $V_{M.NPQ} = \dfrac{4}{27}.\dfrac{1}{4}.V = \dfrac{1}{27}V$

3) Gọi $G'$ là trọng tâm của $ΔA'B'C'$

$\Rightarrow AG'\perp (A'B'C') \, (gt)$

Ta có: $ΔA'B'C'$ đều, $G'$ là trọng tâm

$\Rightarrow G'A' = G'B'$

$\Rightarrow AA' = AB'$

$\Rightarrow ΔAA'B'$ cân tại $A$

Gọi $M$ là trung điểm $A'B'$

$\Rightarrow AM\perp A'B'$

Mặt khác: $ΔA'B'C'$ đều, $M$ là trung điểm $A'B'$

$\Rightarrow C'M\perp A'B'$

$\Rightarrow G'M = \dfrac{1}{3}C'M = \dfrac{1}{3}.A'B'\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{6}$

Ta được:

$\begin{cases}(A'B'C')\cap(ABB'A') = A'B'\\AM\subset (ABB'A')\\ AM\perp A'B'\\C'M \subset (A'B'C') \\ C'M \perp A'B'\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((ABB'A');(A'B'C'))} = \widehat{AMC'} = 60^o$

$\Rightarrow AG' = G'M.\tan60^o = \dfrac{a\sqrt3}{6}.\sqrt3 = \dfrac{a}{2}$

Do đó:

$V_{ABC.A'B'C'} = S_{A'B'C'}.AG' = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3\sqrt3}{8} \, (đvtt)$