Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Vẽ đường tròn (O) đường kính AC cắt tại BC tại D. Gọi H và K lần lượt là trung điểm 2 canh AD và DC. a) Chứng minh tứ giác OHKD là hình chữ nhật. b) Tia OH cắt cạnh AB tại E. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). c, Tia OK cắt đường thẳng ED tại N và cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh tia DI là tia phân giác góc NDC. d, Gọi S là giao điểm của OB và AD. Từ S vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt tia OH tại Q . Chứng minh ba điểm A,Q,N thẳng hàng.

Đáp án:c) cm ĐI là pg của góc NCD

 

Giải thích các bước giải:

Ta có : OD=OC( cùng là bán kính của (o))

=> tam giác DOC cân tại O 

Mà OK là trung tuyến ( vì K là trung điểm của DC)

= >OK là đường cao của tam giác =>góc KDI+ góc DIK=90  

    Mà tam giác DOI cân tại O(OD=OI-cùng là bán kính của (o))

=> DOI=OID

=> góc KDI+ góc ODI=90

Mà góc NDI+ góc ODI=90(góc NDI+góc ODI=góc ODN và ODN=90-OD vuông góc với ED)

=>  góc KDI = góc NDI

=> DI là pg của CDN

d) cm A,Q,N thẳng hàng

Dựng  hình  : gọi M là giao điểm của OB và AQ 

Ta có tam giác AOD cân tại O

Mà OH là trung tuyến ( H là trung điểm của AD)

=> OH là đường cao

Xét tam giác AOS có

OH là đường cao,SQ là đường cao

OH cắt SQ tại Q

=> Q là trực tâm của tam giác AOS

=> AQ ⊥OB

Xets tam giác AOB vuông tại A,đường cao AM cos

OA^2=OB.OM ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giácODN vuông tại Đ đường cao DK có

OD^2=OK.ON ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)

mà OÀ=OD => OA^2=OD^2

Do đó OB.OM=OK.ON

=> OB/OK=ON/OM

Xét tam giác BOK và tam giác NOM có 

BON chung,OB/OK=ON/OM 

=> tam giác BOK đồng dạng với tam giác NOM 

 =>góc BKO= góc NMO

 Mà góc BKO =90

 => góc NMO =90

 => MN⊥ OB 

=> A,Q,N thẳng hàng