Cho tam giác ABC có góc A = 120, AD là đường phân giác . Chứng minh rằng : 1/AD = 1/AB + 1/AC

Ta có: $AD$ là phân giác của $\widehat{BAC}$ $(gt)$

$\Rightarrow \widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = 60^o$

Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AC$ tại $M$

$\Rightarrow \widehat{ABM} = \widehat{BAD} = 60^o$ (so le trong)

mà $\widehat{BAM} = 180^o - 120^o = 60^o$ (kề bù $\widehat{BAC}$)

nên $\widehat{ABM} = \widehat{BAM} = 60^o$

$\Rightarrow ΔBAM$ đều

$\Rightarrow AB = BM = AM$

Do $BM//AD$ nên theo định lý Thales, ta được:

$\dfrac{CA}{CM} = \dfrac{AD}{BM}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{CA.BM}{CM} = \dfrac{AC.AB}{AC + AB}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AD} = \dfrac{AC + AB}{AC.AB} = \dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC}$