cho parabol p: y= x^2 và đường thẳng d : y=mx-m+2 tìm m để p cắt d tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1;x2 đều lớn hơn 1/2

Đáp án:

$m > \dfrac{7}{2}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

$\begin{array}{l}
{x^2} = mx - m + 2\\
 \Leftrightarrow {x^2} - mx + m - 2 = 0\left( 1 \right)
\end{array}$

(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là $x_1;x_2$ khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt.

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta  = {\left( { - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 8 > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {ld} \right)
\end{array}$

Như vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt.

Khi đó: Theo ĐL Viet ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} = m - 2
\end{array} \right.$

Lại có:

${x_1} > \dfrac{1}{2};{x_2} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 1\\
\left( {{x_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}} \right) > 0
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
{x_1}{x_2} - \dfrac{1}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + \dfrac{1}{4} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m - 2 - \dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{4} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
\dfrac{1}{2}m > \dfrac{7}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 1\\
m > \dfrac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{2}
\end{array}$

Vậy $m > \dfrac{7}{2}$ thỏa mãn đề