cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, các đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm BC.Lấy điểm F đối xứng với C qua H a) qua F kẻ một đường thẳng // AC cắt AB tại P, nối PH cắt AC tại Q.Cm HP=HQ b)cm HM vuông góc PQ c) gọi I là tđ của DE, J là tđ AH. cm I,J,M thẳng hàng

$a)$ Ta có: $FP//AC \, (gt)$

$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{HF}{HC}$ (Theo Thales)

mà $HF = HC \, (gt)$

nên $\dfrac{HF}{HC} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = 1$

$\Rightarrow HP = HQ$

$b)$ Ta có $FP//AC \, (gt)$

mà $BD\perp AC \, (gt)$

$\Rightarrow FP\perp BD$

hay $FP\perp BH$

Ta lại có:

$CE\perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow BP\perp FH$

Xét $ΔFHB$ có:

$FP\perp BH \, (cmt)$

$BP \perp FH \, (cmt)$

$\Rightarrow P$ là trực tâm

$\Rightarrow HP\perp FB$ $(1)$

Xét $ΔBFC$ có:

$BM = MC \, (gt)$

$HF = HC \, (gt)$

$\Rightarrow HM$ là đường trung bình

$\Rightarrow HM//FB$  $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow HM\perp HP$

hay $HM\perp PQ$

$c)$ Xét $ΔBEC$ vuông tại $E$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow ME = MB = MC$

Tương tự với các tam giác $ΔBDC, \, ΔEHA, \, ΔDHA$ lần lượt vuông tại $D, \, E, \, D$

$\Rightarrow \begin{cases}MD = MB = MC\\JA = JH = JE\\JA=JH = JD\end{cases}$

$\Rightarrow MJ$ là trung trực của $ED$

Ta lại có: $IE = ID$

$\Rightarrow I \in$ trung trực của $ED$

$\Rightarrow I \in MJ$

$\Rightarrow J,I,M$ thẳng hàng