(căn3-1)sinx-(căn3+1)cosx+căn3-1=0

Đáp án:

$x=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$;

$x=\pi+\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$

$(k\in\mathbb Z)$ 

Giải thích các bước giải:

 $(\sqrt3-1)\sin x-(\sqrt3+1)\cos x+\sqrt3-1=0$

$\Leftrightarrow(\sqrt3-1)\sin x-(\sqrt3+1)\cos x=1-\sqrt3$ (1)

Do $(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2=3+1-2\sqrt3+3+1+2\sqrt3=8\ge(1-\sqrt3)^2=1+3-2\sqrt3=4-2\sqrt3$

Nên phương trình có nghiệm

Ta đặt

$\cos \alpha=\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$ do $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ $\forall\alpha$

$\Rightarrow$ đặt $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}$

(1) tương đương:

$\cos\alpha\sin x-\sin\alpha\cos x=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}$

$\Leftrightarrow\sin(x-\alpha)=\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}$

$\Leftrightarrow x=\alpha+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$

hoặc $x=\pi+\alpha-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$

$(k\in\mathbb Z)$ và $\alpha=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}$

Vậy phương trình có nghiệm

$x=\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$;

$x=\pi+\arccos\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}-\arcsin\dfrac{1-\sqrt3}{2\sqrt2}+k2\pi$

$(k\in\mathbb Z)$.