Cho hai số chính phương liên tiếp . Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

Gọi hai số liên tiếp là: `a,a+1(a∈ZZ)`

`⇒` bình phương của hai số đó là `a^2,(a+1)^2.`

Theo bài ra ta có: `a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2`

`=a^2+a^2+2a+1+a^2(a^2+2a+1)`

`=a^2+a^2+2a+1+a^4+2a^3+a^2`

`=a^4+2a^3+3a^2+2a+1`

`=a^4+a^2+1+2a^3+2a+2a^2`

`=(a^2)^2+a^2+1^2+2.a^2 . a+2.a.1+2.a^2. 1`

`=(a^2+a+1)^2` (`HĐT` bậc `2` cho `3` số)

`=[a(a+1)+1]^2.`

Có `a∈ZZ,` mà `a,a+1` là hai số liên tiếp `⇒` có ít nhất `1` số `⋮2.`

`⇒a(a+1)+1` là một số lẻ.`

`⇒[a(a+1)+1]^2` là bình phương của một số lẻ, hay là một số chính phương lẻ.

Vậy tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.