Cho tam giác ABC. Chứng minh sinA/2 . sinB/2 . sinC/2 ≤ 1/8

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$P=\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}\\ 2P=2.\sin \dfrac{A}{2}.\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2P=\left[\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{A}{2}+ \dfrac{B}{2}\right)\right].\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2P=\left[\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\right].\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2P=\left[\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)-\cos\left(\dfrac{180-C}{2}\right)\right].\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2P=\left[\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)-\sin\dfrac{C}{2}\right].\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 2P=\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right).\sin \dfrac{C}{2}-\sin^2\dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow 8P=4\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right).\sin \dfrac{C}{2}-4\sin^2\dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow -8P=4\sin^2\dfrac{C}{2} -4\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right).\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow -8P=4\sin^2\dfrac{C}{2} -4\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right).\sin \dfrac{C}{2}+\cos^2\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)-\cos^2\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\\ \Leftrightarrow -8P=\left[2\sin^2\dfrac{C}{2}-\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\right]^2-\cos^2\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\\ \Leftrightarrow 1-8P=\left[2\sin^2\dfrac{C}{2}-\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\right]^2+1-\cos^2\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\\ \Leftrightarrow 1-8P=\left[2\sin^2\dfrac{C}{2}-\cos\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right)\right]^2+\sin^2\left(\dfrac{A}{2}- \dfrac{B}{2}\right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1-8P \ge 0\\ \Leftrightarrow 8P \le 1\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{1}{8}.$