Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA'= 2a. Gọi M là trung điểm của AA'. Khoảng cahcs từ M đến mặt phằng (AB'C) =?

Đáp án: $\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $BM\cap AB'=D$

Ta có:

$AA'//BB'\to \dfrac{DM}{DB}=\dfrac{AM}{BB'}=\dfrac{\dfrac12AA'}{BB'}=\dfrac{\dfrac12AA'}{AA'}=\dfrac12$ vì $M$ là trung điểm $AA'$ 

$\to d(M, AB'C)=\dfrac12d(B, AB'C)$

Gọi $E$ là trung điểm  $AC\to BE\perp AC$ vì $\Delta ABC$ đều

$\to BE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Kẻ $BH\perp B'E$

Ta có $BE\perp AC, BB'\perp AC\to AC\perp (BB'E)$

$\to AC\perp BH\to  BH\perp AB'C$

$\to d(B, AB'C)=BH$

Mà $\Delta BB'E$ vuông tại $B, BH\perp B'E$

$\to\dfrac{1}{BH^2}=\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{BB'^2}$

$\to BH=\dfrac{2a\sqrt{57}}{19}$

$\to d(M, AB'C)=\dfrac12BH=\dfrac{a\sqrt{57}}{19}$