Cho hình thang cân MNPQ (MN//PQ , MN<PQ), NP=15cm, đường cao NI=12cm, QI=16cm. a) Tính IP b) Chứng minh: QN vuông góc NP c) Tính diện tích hình thang MNPQ d)Gọi E là trung điểm của PQ. Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh rằng : KN^2 = KP. KQ

a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$NP^2 = NI^2 + IP^2$

$\Rightarrow IP^2 = NP^2 - NI^2$

$\Rightarrow IP = \sqrt{NP^2 - NI^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9 \, cm$

b) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$QN^2 = QI^2 + NI^2 = 16^2 + 12^2 = 400$

Ta có: $QP^2 = (QI + IP)^2 = (16 + 9)^2 = 625$

$NP^2 = 15^2 = 225; \, QN^2 = 400$

Dễ dàng nhận thấy $QP^2 = NP^2 + QN^2$

$\Rightarrow ΔNPQ$ vuông tại $N$ (Theo định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow QN\perp NP$

c) Từ $M$ kẻ $MH\perp QP$

$\Rightarrow MNIH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow MN=IH; \, QH = IP$

$\Rightarrow MN = QI - IP = 16 - 9 = 7 \, cm$

$\Rightarrow S_{MNPQ} = \dfrac{1}{2}(MN + PQ).NI = \dfrac{1}{2}(7 + 16 + 9).12 = 192 \, cm^2$

d) Ta có: $\widehat{PNK}= \widehat{ENK} - \widehat{ENP} = 90^o - \widehat{ENP}$

mà $90^o - \widehat{ENP} = \widehat{PNQ} - \widehat{ENP} = \widehat{ENQ}$

nên $\widehat{PNK} = \widehat{ENQ}$

Ta lại có: $E$ là trung điểm cạnh huyền $QP \, (gt)$

$\Rightarrow EN = EQ = EP$

$\Rightarrow ΔENQ$ cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{ENQ} = \widehat{EQN}$

Do đó $\widehat{PNK} = \widehat{EQN} \, (=\widehat{ENQ})$

Xét $ΔNPK$ và $ΔQNK$ có:

$\widehat{K}:$ góc chung

$\widehat{PNK} = \widehat{EQN} \, (cmt)$

Do đó $ΔNPK\sim ΔQNK \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{KN}{KQ} = \dfrac{KP}{KN}$

$\Rightarrow KN^2 = KP.KQ$