Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên dương x,y,z thỏa mãn xyz=x^2-2z+2

Đáp án:

 Tham khảo

Giải thích các bước giải:

⇔$\dfrac{x²+2}{xy+2}$ là số nguyên dương

+)Nếu x=y thì z=1.Khi đó bộ số $(k;l;1)$với l là số nguyên dương thoả mãn đề bài

+)Nếu x<y thì $z<1$(không thoả mãn)⇒loại

+)Nếu x>y thì $x²+2>xy+2$

Vì z là số nguyên dương nên

$\dfrac{xy+2}{x²+2}$⇔$\dfrac{xy+2}{y(x²+2)}$

⇔$\dfrac{xy+2}{x(xy+2)-z(x-y)}$ 

⇔$\dfrac{xy+2}{2(x-y)}$ 

Do đó tồn tại số nguyên dương k sao cho

$2(x-y)=k(xy+2)$

+)Nếu $k≥2⇒x+y≥xy+2⇒(x+1)(y-1)+3≤0$(vô lí)

+)Nếu $k=1⇒2(x-y)=xy+2⇔(x+2)(y+2)=-6$

$⇒(x;y;z)=(4;1;3)$