Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn( gọi tâm của nó là O) b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O)

Giải thích các bước giải:

a. Gọi \(O\) là trung điểm \(AH\)

Xét tam giác \(AEH\) vuông tại \(H\): \(O\) là trung điểm \(AH \Rightarrow AO = OH = OE\)

Chứng minh tương tự \(\Rightarrow AO = OH = OD\)

\(\Rightarrow OA = OH = OD = OE\)

Vậy \(A, D, H, E \in (O)\) với \(O\) là trung điểm \(AH\)

b. Có: \(BD \cup CE = H \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC\)

\(\Rightarrow AH \perp BC\)

Mà: \(CE \perp AB\)

\(\Rightarrow \widehat{EAH} = \widehat{ECB} (1)\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Có: \(OA = OE \Rightarrow\) tam giác \(AOE\) cân tại \(O\)

\(\Rightarrow \widehat{AEO} = \widehat{EAO} (2)\)

Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\) tam giác \(EMC\) cân tại \(M\)

\(\Rightarrow \widehat{ECM} = \widehat{CEM} (3)\)

\((1); (2); (3) \Rightarrow \widehat{AEO} = \widehat{CEM}\)

Mà: \(\widehat{AEO} + \widehat{OEC} = \widehat{AEC} = 90^{\circ}\)

\(\Rightarrow \widehat{OEC} + \widehat{CEM} = \widehat{OEM} = 90^{\circ}\)

\(\Rightarrow EM\) là tiếp tuyển của \((O)\)