10. y = x^3 – (m+1)x^2 – (2m^2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến khi x>=2, giúp với ạ

Đáp án: `-2 ≤ m ≤ 3/2`

Giải thích các bước giải:

$y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m(2m-1)$

$\text{ Ta có}$

`y^' = [x^3 – (m+1)x^2 – (2m^2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) ]^' `

`= 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 – 3m + 2)`

$\text{ Để hàm số đồng biến với mọi }$`x ≥ 2;`

`=> y^' ≥ 0` $\text{ với mọi }$`x ≥ 2`

`⇔ 3x^2 - 2(m+1)x - (2m^2 – 3m + 2) ≥ 0` $\text{ với mọi }$ `x ≥ 2`

$\text{  Ta có }$ `Δ' = [-(m+1)]^2 - 3. [- (2m^2 – 3m + 2)] = m^2 + 2m + 1 + 6m^2 - 9m + 6`

`= 7m^2 - 7m + 7`

$\text{  TH1: Với }$ `Δ' ≤ 0`

`=> 7m^2 - 7m + 7 ≤ 0`

`=>` $\text{ vô nghiệm }$

$\text{  Vậy không có giá trị nào của m để Δ' ≤ 0 }$

$\text{ TH2:   Δ' > 0 }$

`=> 7m^2 - 7m + 7 > 0`

`=> m ∈ R`

$\text{  Vì Δ' > 0 nên y' có 2 nghiệm phân biệt }$ `x_1` và `x_2`

  Ta có bảng xét dấu 

\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&\text{-∞                x1                             x2               +∞}  \\\hline y'&\text{       +          0                -             0           +                                                }  \\\hline\end{array}

Mà vì  `x ≥ 2` $\text{ nên để }$`y^'` $\text{ đồng biến thì }$ `x_1 < x_2 ≤ 2`

 $\Rightarrow\begin{cases} x_{1}+x_{2}<4\\(x_{1}-2)(x_{2}-2)≥0\end{cases}$ $\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{2}{3}(m+1)<4\\x_{1}x_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4≥0\end{cases}$ 

$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- \dfrac{1}{3}(2m^2 – 3m + 2)-2.\dfrac{2}{3}(m+1)+4≥0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- \dfrac{2}{3}m^2-\dfrac{1}{3}m+2≥0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases} m<5\\- 2≤ m ≤ \dfrac{3}{2}\end{cases}$

`=> -2 ≤ m ≤ 3/2`

$\text{ Vậy để y đồng biến với }$ `x ≥ 2` $thì$ `-2 ≤ m ≤ 3/2`