cho đoạn thẳng BC=2.a và 1 điểm A chuyển động sao cho góc BAC vuông, đường cao AH, kẻ HM vuông góc với AB tại M , HN vuông góc với AC tại N. CM: 1. AM.AB=AN.AC=HB.HC 2.AM.MB+NA.NC=HB.HC 3.AN.AB+AM.AC=AB.AC

Giải thích các bước giải:

1.Ta có $\widehat{AMH}=\widehat{AHB}=90^o,\widehat{MAH}=\widehat{BAH}$

$\to\Delta AMH\sim\Delta AHB(g.g)$

$\to\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH^2=AM\cdot AB$

Tương tự $AN\cdot AC=AH^2$

Lại có: $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o,\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB\cdot HC$

$\to AM\cdot AB=AN\cdot AC=HB\cdot HC$

2.Chứng minh tương tự câu $1\to MA\cdot MB=MH^2, NA\cdot NC=NH^2$

Ta có $HM\perp AB, HN\perp AC, AB\perp AC\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to AH=MN$

$\t AM\cdot MB+NA\cdot NC=HM^2+HN^2=MN^2=AH^2=HB\cdot HC$

3.Ta có:

$AN\cdot AC=AH^2\to AN=\dfrac{AH^2}{AC}\to AN\cdot AB=\dfrac{AH^2\cdot AB}{AC}$

$AM\cdot AB=AH^2\to AM=\dfrac{AH^2}{AB}\to AM\cdot AC=\dfrac{AH^2\cdot AC}{AB}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=\dfrac{AH^2\cdot AB}{AC}+\dfrac{AH^2\cdot AC}{AB}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=AH^2\cdot (\dfrac{AB}{AC}+\dfrac{AC}{AB})$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=AH^2\cdot \dfrac{AB^2+AC^2}{AC\cdot AB}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=AH^2\cdot \dfrac{BC^2}{AC\cdot AB}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=\dfrac{AH^2\cdot BC^2}{AC\cdot AB}$

Vì $AH\cdot BC=AB\cdot AC=2S_{ABC}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=\dfrac{(AB\cdot AC)^2}{AC\cdot AB}$

$\to AN\cdot AB+AM\cdot AC=AB\cdot AC$