Từ một điểm T nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến TA và TB với đường tròn (A,B là hai tiếp điểm). Tia TO cắt đường tròn (O) tại hai hai điểm phân biệt C và D (C nằm giữa T và O) và cắt đoạn thẳng AB tại điểm K a. Chứng minh : Tứ giác TAOB nội tiếp b. Chứng minh: TC. TD= TK. TO c. Vẽ đường kính AG của đường tròn (O). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm B đến AG, I là giao điểm của TG và BH. Gọi E là giao điểm của TG với đường tròn (O). Chứng minh: Tứ giác EKIB nội tiếp và trung điểm của BH d. Chứng minh EKOG nội tiếp Mọi người giúp em bài này với ạ

a) Ta có:

$TA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ $(gt)$

$\Rightarrow OA\perp TA$

$\Rightarrow \widehat{OAT} = 90^o$

Tương tự với tiếp tuyến $TB$ ta được: $\widehat{OBT} = 90^o$

Xét tứ giác $TAOB$ có:

$\widehat{OAT} + \widehat{OBT} = 180^o$D

Do đó $TAOB$ là tứ giác nội tiếp

b) Do $TA, TB$ là các tiếp tuyến, $A, B$ là các tiếp điểm

nên $TA = TB; \, TO\perp AB; \, AK = KB$

Xét $∆TBK$ và $∆TOB$ có:

$\widehat{K} = \widehat{B} = 90^o$

$\widehat{BTO}:$ góc chung

Do đó $∆TBK\sim ∆TOB\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{TB}{TO} = \dfrac{TK}{TB}$

$\Rightarrow TO.TK = TB^2 \, (1)$

Xét $∆TCB$ và $∆TBD$ có:

$\widehat{BTD}:$ góc chung

$\widehat{TBC} = \widehat{TDB}$ (cùng chắn $\overparen{BC}$)

Do đó $∆TCB\sim ∆TBD\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{TC}{TB} = \dfrac{TB}{TD}$

$\Rightarrow TC.TD = TB^2\, (2)$

$(1)(2) \Rightarrow TC.TD = TK.TO$

c) Ta có:

$\widehat{AEG} = 90^o$ (nhìn đường kính $AG$)

$\widehat{AET} = 90^o$

Xét tứ giác $AKET$ có:

$\widehat{AKT} = \widehat{AET} = 90^o$

Do đó $AKET$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EKB} = \widehat{ETA}$

mà $\widehat{EIB} =\widehat{ETA}$ (cùng phụ $\widehat{IGA}$)

nên $\widehat{EKB} = \widehat{EIB}$

Xét tứ giác $EKIB$ có:

$\widehat{EKB} = \widehat{EIB} \, (cmt)$

Do đó $EKIB$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BKI} = \widehat{KEI}$

mà $\widehat{BEI} = \widehat{BAG}$ (cùng chắn $\overparen{BG}$)

nên $\widehat{BKI} = \widehat{BAG}$

$\Rightarrow KI//AG$

Ta lại có: $AK = KB$

$\Rightarrow HI = IB$ (tính chất đường trung bình)

hay $I$ là trung điểm $HB$

d) Ta có: $AKET$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{KEG} = \widehat{KAT}$ (cùng bù $\widehat{KET}$)

mà $\widehat{KAT} = \dfrac{\overparen{AB}}{2} = \widehat{AOC}$

nên $\widehat{KEG} = \widehat{AOK}$

Xét tứ giác $EKOG$ có:

$\widehat{KEG} = \widehat{AOK} \, (cmt)$

Do đó $EKOG$ là tứ giác nội tiếp