Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) biết AB=26cm,AD=10cm và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích hình thang ABCD

Đáp án:

 $\dfrac{34560}{169}cm^2$

Giải thích các bước giải:

Do tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD=BC=10cm

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta ABC\bot C$ có:

$AB^2=AC^2+BC^2$

$\Leftrightarrow 26^2=AC^2+10^2$

$\Leftrightarrow AC^2=576\Leftrightarrow AC=24$ (cm)

Gọi K là hình chiếu của C lên AB

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC\bot C$ đường cao $CK\bot AB$ ta có:

$CK.AB=AC.BC\Rightarrow CK=\dfrac{AC.BC}{AB}=\dfrac{120}{13}$ (cm)

$BC^2=BK.BA\Rightarrow BK=\dfrac{BC^2}{BA}=\dfrac{50}{13}$ (cm)

Gọi $H$ là hình chiếu của D lên AB

Xét $\Delta AHD$ và $\Delta BKC$ có:

$AD=BC$

$\widehat{DAH}=\widehat{CBK}$ (do ABCD là hình thang cân)

$\Rightarrow\Delta AHD=\Delta BKC$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow AH=BK$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Tứ giác $CDHK$ có 4 góc bằng $90^o$ nên $CDHK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow DC=HK=AB-AH-KB=26-2.\dfrac{50}{13}=\dfrac{238}{13}$ (cm)

Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:

$S_{ABCD}=\dfrac{(CD+AB).CK}2=\dfrac{34560}{169}cm^2$