Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và f'(x)=x(2x+1).g(x)+1trong đó g(x) >0,∀x∈R . Hàm số y = f (2 - x) + x đồng biến trên khoảng nào ?

Đáp án:

 Đồng biến trên khoảng `(2;5/2)`

Giải thích các bước giải:

Đặt `h(x)= f (2 - x) + x `

Suy ra `h'(x)=(2-x)'f'(2-x)+x'`

                       `=-f'(2-x)+1`

Ta có: `f'(x)=x(2x+1).g(x)+1`

`⇒ f'(2-x)=(2-x)[2(2-x)+1].g(2-x)+1=(2-x)(5-2x).g(2-x)+1`

Do đó: `h'(x)=-[(2-x)(5-2x).g(2-x)+1]+1`

                        `=(x-2)(5-2x).g(2-x)`

Theo đề bài: `g(x)>0,∀x∈R`

`⇒ g(2-x)>0,∀x∈R`

Do đó: `h'(x)\geq0`

  `⇔ (x-2)(5-2x)\geq0`

  `⇔ 2\leqx\leq5/2`

Vậy hàm số `y=f(2-x)+x` đồng biến trên `(2;5/2)`