a, Cho m là 1 số nguyên dương bất kỳ. CMR số m^2+m+1 không thể là số chính phương b, CMR với mọi số m nguyên dương, số m(m+1) không thể là tích của 4 số nguyên liên tiếp

`a) m^2+m+1`

`=m^2+2. 1/2.m + 1/4 + 3/4`

`=(m+1/2)^2+3/4`

Có: `(m+1/2)^2` là số chính phương.

`⇒(m+1/2)^2+3/4` không thể là số chính phương.

`⇒m^2+m+1` không thể là số chính phương.

Vậy `m^2+m+1` không thể là số chính phương.

 `b)` Gọi  `4` số nguyên liên tiếp đó là `n, n+1, n+2, n+3.`

`⇒` tích `4` số nguyên liên tiếp đó là `n(n+1)(n+2)(n+3).`

Ta cần chứng minh: `m(m+1)\nen(n+1)(n+2)(n+3).`

Nhưng ta giả sử điều này ngược lại, tức:

`m(m+1)=n(n+1)(n+2)(n+3).`

`⇔m(m+1)=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]`

`⇔m(m+1)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)`

Đặt `m^2+3n+1=a`

`pt``⇔(a+1)(a-1)=m(m+1)`

`⇔a^2-1=m^2+m`

`⇔a^2=m^2+m+1`

Mà theo chứng minh câu `a`, `m^2+m+1` không thể là một số chính phương.`

`⇒a^2=m^2+m+1` (vô lí).

`⇒` giả sử sai.

`⇒` `m(m+1)\nen(n+1)(n+2)(n+3).`

Vậy số `m(m+1)` không thể là tích của `4` số nguyên liên tiếp.