cho hình chóp đều Sabcd,SA=AB=2a gọi M là trung điểm SC khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD

Đáp án:

$d\left( {CD,AM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}$

Giải thích các bước giải:

Gọi N là trung điểm của SD; O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có:

$M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC,SD$ $\to MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$

$\to MN//CD;MN=\dfrac{CD}{2}=a$

$ \Rightarrow d\left( {CD,AM} \right) = d\left( {CD,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}}$

+) Ta có:

Do S.ABCD là chóp tứ giác đều nên $SO\bot (ABCD)$

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SCD}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\\
 \Rightarrow {V_{A.SMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{A.SCD}}\\
 \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.SO.\dfrac{1}{2}.AD.CD= \dfrac{1}{48}.SO.AD.CD
\end{array}$

Mà 

$\begin{array}{l}
\Delta SOD;\widehat {SOD} = {90^0};SD = 2a;OD = \dfrac{{AB\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \\
 \Rightarrow SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}  = a\sqrt 2 
\end{array}$

${V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{{48}}.a\sqrt 2 .2a.2a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

+) Ta có:

$\Delta SAC;SA = SC = 2a;AC = 2a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân ở S

$ \Rightarrow AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2a}}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 $

Có: $\Delta SAD$ đều cạnh 2a$ \Rightarrow AN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 $

$\begin{array}{l}
\Delta AMN;AM = a\sqrt 5 ;AN = a\sqrt 3 ;MN = a\\
 \Rightarrow p = \dfrac{{AM + AN + MN}}{2} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3  + 1} \right)}}{2}\\
 \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}
\end{array}$

Khi đó:

$d\left( {CD,AM} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}}} = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}$

Vậy $d\left( {CD,AM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {22} }}{{11}}$