Cho khối chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh a căn 2 , tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60độ . Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD}= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3} \, (đvtt)$

Lời giải:

Kẻ $SH\perp AC$

$\Rightarrow SH$ là đường cao của hình chóp

$\Rightarrow \widehat{SAH} = \widehat{(SA;(ABCD))} = 60^o$

 $\Rightarrow SH = AH\sqrt{3}$

Theo hệ thức lượng, ta được:

$SH^2 = AH.HC$

$\Leftrightarrow 3AH^2 = AH.(2a- AH)$

$\Leftrightarrow 3AH = 2a - AH$

$\Leftrightarrow AH = \dfrac{a}{2}$

$\Leftrightarrow SH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}\cdot\left(a\sqrt{2}\right)^2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{3} \, (đvtt)$