Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC. Vẽ đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a, Cm: ∆ABC ~ ∆BCE b, Cm: HB . HE = HC . HF c, AD = 12cm, BD = 5cm, CD = 9cm. Tính AD và HC

a)Xét tam giác ACD và tam giác BCE có

góc C  là góc chung

góc BEC = góc ADC = 90

⇒tam giác ACD ~ tam giác BCE

b)Xét tam giác HFB và tam giác HEC có

góc HFB = góc HEC = 90

góc FHB = góc EHC (2 góc đồng dạng)

⇒tam giác HFB ~ tam giác HEC

⇒$\frac{HF}{HB}$ =$\frac{HE}{HC}$

⇒HB.HE=HC.HF

c)Tam giác ACD vuông tại D có:

$AD^{2}$+$BD^{2}$=$AB ^{2}$ (Định lý Py-ta-go)

AB=√($AD^{2}$+$BD^{2}$)= √(12²+5²)=√(144+25)=13

Xét tam giác ABD và tam giác CBF có

góc B  là góc chung

góc CFB = góc ADB = 90

⇒tam giác ABD ~ tam giác CBF

⇒góc BAD=góc BCF

Mà góc ADB= góc HDC= 90 độ

⇒tam giác ABD ∼ tam giác CHD

 ⇒$\frac{AB}{CH}$ =$\frac{AD}{CD}$ 

CH=$\frac{AB.CD}{AD}$ = $\frac{13.9}{12}$=9.75(cm)