Cmr 2222^5555+5555^2222 chia hết cho 7

$2222^{5555}$+ $5555^{2222}$ chia hết cho 7

Ta có : `2222 ≡ 3 (mod 7) (1)`

⇒ $2222^{4}$ ≡ $3^{4}$ (`mod 7`)

⇒ $2222^{4}$ ≡ `81 (mod 7)`

       Mà `81 ≡ 4 (mod 7)`

⇒ $2222^{4}$ ≡` 4 (mod 7) (2)`

Nhân `(1)` với `(2)` ta được:

⇒ $2222^{4}$ .` 2222 ≡ 4.3 (mod 7)`

⇒ $2222^{5}$ ≡ `12 (mod 7) ≡ 5 (mod 7)`

⇒ $2222^{5555}$ ≡ $5^{1111}$ (mod 7) (3)

Tương tự như vế trên ta được: 

$5555^{2222}$≡ $2^{1111}$ (mod 7) (4)

Cộng vế (3) và (4) ta có:

$2222^{5555}$+ $5555^{2222}$ ≡ $2^{1111}$ + $5^{1111}$ ( mod 7 ) (5)

Mặt khác: $2^{1111}$ + $5^{1111}$ ≡ 2+5 ( mod 7 ) ≡ 7 ( mod 7 ) ≡ 0 ( mod 7 ) (6)

Từ (5) ; (6) ⇒ $2222^{5555}$+ $5555^{2222}$≡ 0 ( mod 7 )

                 ⇒ $2222^{5555}$+ $5555^{2222}$ chia hết cho 7 (đccm)