tìm m để hàm số y=1/3x^3-mx^2+(2m-1)x-m+2 nghịch biến (-2;0)

Đáp án:

\(m \le  - \dfrac{1}{2}\)

Giải thích các bước giải:

Do hàm số đã cho xác định trên R

\(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 1\)

Để hàm số nghịch biến trên (-2;0)

\(\begin{array}{l}
 \to y' \le 0\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\\
 \to {x^2} - 2mx + 2m - 1 \le 0\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\\
 \to {x^2} - 1 + \left( {2 - 2x} \right)m \le 0\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\\
 \to m \le \dfrac{{1 - {x^2}}}{{2 - 2x}}\\
Có:g\left( x \right) = \dfrac{{1 - {x^2}}}{{2 - 2x}}\\
 \to g'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2x\left( {2 - 2x} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {2 - 2x} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{ - 4x + 4{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {2 - 2x} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {2 - 2x} \right)}^2}}}\\
 = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2 - 2x} \right)}^2}}}
\end{array}\)

BBT

x                   -2                           0                       1

g'(x)                           +               |          +          ||

g(x)              -1/2        \( \nearrow \)         1/2        \( \nearrow \)

\(\text{Kết luận: }m \le  - \dfrac{1}{2}\)