Cho hình chóp tam giác S.ABC có ASB=CSB=60°, ASC=90° SA=SB=1, SC=3. Gọi M là điểm trên cạnh SC sao cho SM=1/3SC. Tính thể tích khối chóp S.ABM

Đáp án:

${V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\Delta SAB;\widehat {ASB} = {60^0};SA = SB = 1$

$ \Rightarrow \Delta SAB$ đều 

$ \Rightarrow BA = BS = 1(1)$

Lại có:

$\Delta SBM;\widehat {BSM} = {60^0};SM = \dfrac{1}{3}SC = 1;SB = 1$

$ \Rightarrow \Delta SBM$ đều

$ \Rightarrow BM = BS = 1(2)$

Từ (1),(2) $\to BA=BS=BM=1$

Gọi H là trung điểm của AM.

Do $\Delta SAM;\widehat {ASM} = {90^0};SA = SM = 1$

$ \Rightarrow \Delta SAM$ vuông cân tại S.

$ \Rightarrow SH \bot AM = H; SH=\dfrac{1}{\sqrt 2}$

Xét $\Delta ABM;BA = BM = 1;AM = \sqrt 2 $

$ \Rightarrow A{M^2} = B{A^2} + B{M^2}$

$ \Rightarrow \Delta ABM$ vuông cân tại B.

$ \Rightarrow BH \bot AM = H; BH=\dfrac{1}{\sqrt 2}$

Như vậy:

$\left( {\left( {SAM} \right),\left( {BAM} \right)} \right) = \left( {SH,BH} \right) = \widehat {SHB}$

Mà $\Delta SHB;SH = BH = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};BS = 1$

$ \Rightarrow B{S^2} = S{H^2} + B{H^2}$

$ \Rightarrow \Delta SHB$ vuông cân tại H.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {SHB} = {90^0}\\
 \Rightarrow \left( {\left( {SAM} \right),\left( {BAM} \right)} \right) = {90^0}\\
 \Rightarrow BH \bot \left( {SAM} \right) = H
\end{array}$

Khi đó:

${V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{3}.BH.{S_{SAM}} = \dfrac{1}{3}.BH.\dfrac{1}{2}.SA.SM = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.1.1 = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}$

Vậy ${V_{S.ABM}} = \dfrac{1}{{6\sqrt 2 }}$