Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Xét hàm số } g(x) = x^3 - 3x^2 + m \text{ trên đoạn } [1; 3] \\
& \text{Đạo hàm: } g'(x) = 3x^2 - 6x \\
& g'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \text{ (không thuộc đoạn [1; 3])} \\ x = 2 \text{ (thỏa mãn)} \end{array} \right. \\
& \text{Tính các giá trị của hàm số } g(x) \text{ tại các điểm nhạy cảm:} \\
& g(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + m = m - 2 \\
& g(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + m = m - 4 \\
& g(3) = 3^3 - 3 \times 3^2 + m = m \\
& \text{Dựa vào các giá trị trên, tập giá trị của } g(x) \text{ trên đoạn } [1; 3] \text{ là đoạn } [m - 4; m] \\
& \text{Điều kiện } \min_{x \in [1; 3]} f(x) \le 2020 \text{ tương đương với việc tồn tại ít nhất một giá trị } x_0 \in [1; 3] \text{ sao cho:} \\
& |g(x_0)| \le 2020 \\
& -2020 \le g(x_0) \le 2020 \\
& \text{Điều này xảy ra khi và chỉ khi đoạn giá trị } [m - 4; m] \text{ có ít nhất một điểm chung với đoạn } [-2020; 2020] \\
& \text{Tức là:} \\
& \begin{cases} m \ge -2020 \text{ (giá trị lớn nhất phải không nhỏ hơn cận dưới)} \\ m - 4 \le 2020 \text{ (giá trị nhỏ nhất phải không lớn hơn cận trên)} \end{cases} \\
& \begin{cases} m \ge -2020 \\ m \le 2024 \end{cases} \\
& \text{Suy ra } m \in [-2020; 2024] \\
& \text{Vì } m \text{ là số nguyên nên số các giá trị của } m \text{ là:} \\
& 2024 - (-2020) + 1 = 4045 \\
& \text{KQ: Có 4045 số nguyên } m \text{ thỏa mãn yêu cầu đề bài.}
\end{aligned}$