Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 1: } \\
& \text{a) Tính khoảng cách từ } A \text{ đến mặt phẳng } (SBC) \text{} \\
& \text{Ta có: } BC \perp AB \text{ và } BC \perp SA \text{ (do } SA \perp (ABC)\text{)} \\
& \implies BC \perp (SAB) \implies (SBC) \perp (SAB) \\
& \text{Kẻ } AH \perp SB \text{ tại } H. \text{ Vì } (SBC) \perp (SAB) \text{ theo giao tuyến } SB \text{ nên } AH \perp (SBC) \\
& \implies d(A, (SBC)) = AH \\
& \text{Xét tam giác } SAB \text{ vuông tại } A \text{ có đường cao } AH: \\
& \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{(2a)^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{5}{4a^2} \\
& AH = \dfrac{2a}{\sqrt{5}} = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5} \\
& \text{b) Gọi } M \text{ là trung điểm } AC. \text{ Tính khoảng cách từ } A \text{ đến } (SBM) \text{} \\
& \text{Diện tích tam giác } ABC: S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} \\
& \text{Vì } M \text{ là trung điểm } AC \text{ nên } S_{ABM} = \dfrac{1}{2} S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
& \text{Thể tích khối chóp } S.ABM: V_{S.ABM} = \dfrac{1}{3} SA \cdot S_{ABM} = \dfrac{1}{3} \cdot 2a \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6} \\
& \text{Cạnh } BM \text{ trong tam giác vuông } ABC: BM = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{1}{2} \sqrt{a^2 + 3a^2} = a \\
& SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = a\sqrt{5} \\
& SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = a\sqrt{5} \\
& \text{Tam giác } SBM \text{ cân tại } S. \text{ Gọi } K \text{ là trung điểm } BM \implies SK \perp BM \\
& SK = \sqrt{SB^2 - BK^2} = \sqrt{5a^2 - (\dfrac{a}{2})^2} = \dfrac{a\sqrt{19}}{2} \\
& S_{SBM} = \dfrac{1}{2} BM \cdot SK = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt{19}}{2} = \dfrac{a^2\sqrt{19}}{4} \\
& d(A, (SBM)) = \dfrac{3 V_{S.ABM}}{S_{SBM}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{a^2\sqrt{19}}{4}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \dfrac{2a\sqrt{57}}{19} \\
& \text{Bài 2: } \\
& \text{a) Tính khoảng cách từ } A \text{ đến mặt phẳng } (SBC) \text{} \\
& \text{Góc giữa } SB \text{ và đáy là } \widehat{SBA} = 60^\circ \implies SA = AB \cdot \tan 60^\circ = 2a\sqrt{3} \\
& \text{Gọi } I \text{ là trung điểm } BC \implies AI \perp BC \text{ và } AI = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \\
& \text{Kẻ } AH \perp SI. \text{ Tương tự bài 1, } d(A, (SBC)) = AH \\
& \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AI^2} = \dfrac{1}{(2a\sqrt{3})^2} + \dfrac{1}{(a\sqrt{3})^2} = \dfrac{1}{12a^2} + \dfrac{4}{12a^2} = \dfrac{5}{12a^2} \\
& AH = \sqrt{\dfrac{12a^2}{5}} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{5} \\
& \text{b) Tính khoảng cách từ } A \text{ đến } (SCM) \text{ với } M \text{ là trung điểm } AB \text{} \\
& S_{AMC} = \dfrac{1}{2} S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} \\
& V_{S.AMC} = \dfrac{1}{3} SA \cdot S_{AMC} = \dfrac{1}{3} \cdot 2a\sqrt{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} = a^3 \\
& CM = a\sqrt{3}, SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{12a^2 + 4a^2} = 4a \\
& SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{12a^2 + a^2} = a\sqrt{13} \\
& \text{Dùng công thức Heron cho } \triangle SCM \text{ và tính } d = \dfrac{3V}{S_{SCM}} \\
& \text{Bài 3: } \\
& \text{Khoảng cách } d \text{ từ } O \text{ đến } (ABC) \text{ thỏa mãn công thức:} \\
& \dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2} + \dfrac{1}{OC^2} \\
& \dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2}{a^2b^2c^2} \\
& d = \dfrac{abc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}
\end{aligned}$